如图,ABCD是梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥面ABCD,且AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E为PD的中点(Ⅰ)求证:AE∥面PBC.(Ⅱ)

如图,ABCD是梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥面ABCD,且AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E为PD的中点(Ⅰ)求证:AE∥面PBC.(Ⅱ)

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如图,ABCD是梯形,ABCD,∠BAD=90°,PA⊥面ABCD,且AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E为PD的中点
(Ⅰ)求证:AE面PBC.
(Ⅱ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅲ)在面PAB内能否找一点N,使NE⊥面PAC.若存在,找出并证明;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)取PC中点为F,连接EF,BF
又E为PD的中点,所以EFDC且EF=
1
2
DC
所以EFAB,且EF=AB,所以ABFE为平行四边形(2分)
所以AEBF,因为AE⊄面PBC,所以AE面PBC(4分)
(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0),
B(1,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),
P(0,0,3),E(0,
1
2
3
2
)(5分)
从而


AC
=(2,1,0),


PB
=(1,0,-3)


AC


PB
的夹角为θ,则
cosθ=


AC


PB
|


AC
|•|


PB
|
=-


2
5
,(7分)
∴AC与PB所成角的余弦值为


2
5
(8分)
(Ⅲ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G,连PG,
设N为PG的中点,连NE,则NEDG,(10分)
∵DG⊥AC,DG⊥PA,∴DG⊥面PAC从而NE⊥面PAC(14分)
举一反三
如图,AB为圆O的直径,点C为圆O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.
(1)求证:PB⊥平面AFE;
(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球(即点P、A、B、C都在此球面上)的体积之比.
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已知:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,F是AC,BD的交点.
求证:A1F⊥平面BED.
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如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上异于A、B的任意一点,AN⊥PM,点N为垂足,求证:AN⊥平面PBM.
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P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,P到B,C,D三点的距离分别是


5


17


13
,则P到A点的距离是______.
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如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;
(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.
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