如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,求证:AD⊥PB.
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,求证:AD⊥PB.
题型:不详
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,求证:AD⊥PB.
答案
证明:取AD中点G,连接PG,∵△PAD为等边三角形,
∴PG⊥AD,又由已知平面PAD⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,
连接BG,BG是PB在平面ABCD中的射影,
由于四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,所以BG⊥AD,∴AD⊥BP.
举一反三
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为2
3
的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
(1)证明:AC⊥SB;
(2)求三棱锥B-CMN的体积.
题型:不详
难度:
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如图,直棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求证:AC⊥平面BB
1
C
1
C;
(2)在A
1
B
1
上是否存一点P,使得DP与平面BCB
1
与平面ACB
1
都平行?证明你的结论.
题型:不详
难度:
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如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分PC,且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC,PA=AB.
(Ⅰ)求证:PC⊥平面BDE;
(Ⅱ)若点Q是线段PA上任一点,求证:BD⊥DQ;
(Ⅲ)求线段PA上点Q的位置,使得PC
∥
平面BDQ.
题型:不详
难度:
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如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,
AB=2,AC=BC=
2
.等边三角形ADB以AB为轴运动.当CD=______时,面ACD⊥面ADB.
题型:不详
难度:
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,点M是棱PC的中点,PA⊥平面ABCD,AC、BD交于点O.
(1)已知:PA=
2
,求证:AM⊥平面PBD;
(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于
21
7
,求PA的长.
题型:不详
难度:
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