四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=22AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD．

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四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=

AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD．

答案

证明：取CD的中点G，连接EG，FG，∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EG

∥

AC；FG

∥

BD，又AC=BD，∴FG=

AC，
∴在△EFG中，EG2+FG2=

AC2=EF2
∴EG⊥FG，∴BD⊥AC，又∠BDC=90°，即BD⊥CD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面ACD．

举一反三

在空间中，设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给定下列条件：
①α⊥β且m⊂β；②α∥β且m⊥β；③α⊥β且m∥β；④m⊥n且n∥α，其中可以判定m⊥α的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

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下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则l⊥a．
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直．
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β．
其中正确的命题个数为（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

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四面体P-ABC中，若PA⊥平面ABC，当添加一个条件______后，该四面体各个面中直角三角形最多．

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已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是______．

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已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是 ______．

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