如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD=3，AP=5，PC=．（Ⅰ）求证：EF∥

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如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD=3，AP=5，PC=．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP=90°，求证BE⊥DP;
（Ⅲ）若∠CDP=120°，求该多面体的体积．

答案

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，
∵F,O分别为BP，PC的中点，
∴ FO∥BC，且 ,
又ABCD为平行四边形, ED∥BC，且 ,
∴ FO∥ED，且 FO=ED
∴四边形EFOD是平行四边形
即EF∥DO   
又EF 平面PDC   
∴EF∥平面PDC． 
（Ⅱ）若∠CDP=90°,则PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC  
∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD, 
 ∵BE 平面ABCD，
∴BE⊥DP  
（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知
 △ABC与 △ADC面积相等，
所以三棱锥 P-ADC与三棱锥P-ABC 体积相等，
即五面体的体积为三棱锥P-ADC 体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC，
∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP=120°PC=2 ，
由余弦定理并整理得DC²+4DC-12=0 , 解得DC=2 
∴ 三棱锥P-ADC 的体积 
∴该五面体的体积为