在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.(1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:EF∥平面ABC;(2)求证:A1

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.(1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:EF∥平面ABC;(2)求证:A1

题型:四川省月考题难度:来源:
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.
(1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:A1C1⊥AB;
(3)求点B1到平面ABC1的距离.
答案

(1)证明:∵E、F分别为AB1、BC1的中点,
∴EF∥A1C1
∵A1C1∥AC,
∴EF∥AC.
∴EF∥平面ABC.
(2)证明:∵AB=CC1
∴AB=BB1
又三棱柱为直三棱柱,
∴四边形ABB1A1为正方形.
连接A1B,则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1
∴AB1⊥平面A1BC1
∴AB1⊥A1C1
又A1C1⊥AA1
∴A1C1⊥平面A1ABB1
∴A1C1⊥AB.
(3)解:∵A1B1∥AB,
∴A1B1∥平面ABC1
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.
过A1作A1G⊥AC1于点G,
∵AB⊥平面ACC1A1
∴AB⊥A1G.
从而A1G⊥平面ABC1
故A1G即为所求的距离,即A1G=

举一反三
如图,在四棱锥 P﹣ABCD中,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=2,AD=1,E 是 PB 的中点.
(Ⅰ)若F是BC上任一点,求证:AE⊥PF;
(Ⅱ)设 AC、BD交于点O,求直线BO与平面AEC所成角的正弦值.
题型:云南省月考题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥E﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BC;
(2)如果点N为线段AB的中点,求证:MN∥平面ADE.
题型:江苏同步题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥p﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求二面角B﹣PC﹣A的余弦值.
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求证:AB1平面A1DC;
(Ⅲ)求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值.
题型:宁夏自治区期末题难度:| 查看答案
已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求证:l⊥γ.
题型:江苏期中题难度:| 查看答案
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