三棱柱中，∠ABC=90°，BB1⊥底面ABC，D为棱AC的中点，且AB=BC=BB1=1。（1）求二面角A1-BD-C的余弦值；（2）棱CC1上是否存在一点P

题型：0103 期中题难度：来源：

三棱柱中，∠ABC=90°，BB₁⊥底面ABC，D为棱AC的中点，且AB=BC=BB₁=1。
（1）求二面角A₁-BD-C的余弦值；
（2）棱CC₁上是否存在一点P，使PD⊥平面A₁BD；若存在，试确定P点位置，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴，
建立如图所示的直角坐标系B-xyz， A（0，1，0），C（1，0，0），
，，，，
设平面的一个法向量，
又，
∴，
令x=1，可得，
又平面BDC的一个法向量为，
设二面角的大小为，可知为钝角，故。
（2）设P（1，0，z），则，
要使PD⊥平面，则需，
可得，故，
即当P是CC₁的中点时，所以PD⊥平面。