在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段A1C1的中点，AC∩BD=F， （1）求证：CE⊥BD；（2）求证：CE∥平面A1BD； （3）求三棱

题型：0119 期末题难度：来源：

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段A₁C₁的中点，AC∩BD=F，

（1）求证：CE⊥BD；
（2）求证：CE∥平面A₁BD； 
（3）求三棱锥D-A₁BC的表面积。

答案

（1）证明：根据正方体的性质，BD⊥AC，
因为AA₁⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
所以，，
又，
所以，BD⊥平面，CE平面，
所以，CE⊥BD。（2）证明：连结，
因为，
所以，为平行四边形，
因此，，
由于E是线段的中点，所以，
因为面，CE平面，
所以，CE∥平面。 （3）解：是边长为的正三角形，
其面积为，
因为BC⊥平面，所以，
所以，是直角三角形，其面积为，
同理，的面积为，
的面积为，
所以，三棱锥的表面积为
。