P是四边形ABCD所在平面外一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。(1)若G为AD边的中点,求证

P是四边形ABCD所在平面外一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。(1)若G为AD边的中点,求证

题型:福建省期中题难度:来源:
P是四边形ABCD所在平面外一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。
(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面APD;
(2)求证:AD⊥PB。
答案

证明:(1)连接BD,由已知∠DAB=60°且四边形ABCD是菱形,
∴ΔABD是正三角形,
又G为AD边的中点,
∴BG⊥AD,BG平面ABCD,
又平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,
∴BG⊥平面APD。
(2)连接PG,由侧面PAD为正三角形,G为AD边的中点,
∴AD⊥PG,
由(1)可知BG⊥AD,
又PG,BG平面PBG,PG∩BG=G,
∴AD⊥平面PBG,
又PB平面PBG,
∴AD⊥PB。

举一反三
如图,在RtΔAOB中,,斜边AB=4。RtΔAOC可以通过在RtΔAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上。
(1)求证:CO⊥平面AOB;
(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;
(3)求CD与平面AOB所成的角最大时的正切值。
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如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B 两点的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是
[     ]
A.1
B.2
C.3
D.4
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形。已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°。
(Ⅰ)证明:AD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的余弦值;
(Ⅲ)求二面角P-BD-A的余弦值。
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如图,在正方形AS1S2S3中,E、F分别是边S1S2、S2S3的中点,D是EF的中点,沿AE、EF、AF把这个正方形折成一个几何体,使三点 S1、S2、S3重合于一点S,
下面有5个结论:①AS⊥平面SEF;②AD⊥平面SEF;③SF⊥平面AEF;④EF⊥平面SAD;
⑤SD⊥平面AEF;⑥AS⊥EF。
其中正确的是(    )。(填上所有正确结论的序号)
题型:0112 期中题难度:| 查看答案
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°。
(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A-A1C-B的大小。
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