如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。(1)证明:DE⊥平面PBC;(2)求EB与底面ABCD

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。(1)证明:DE⊥平面PBC;(2)求EB与底面ABCD

题型:福建省期中题难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。
(1)证明:DE⊥平面PBC;
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
答案

(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥BC,
又∵底面ABCD是正方形,
∴DC⊥BC,
又PD∩DC=D,
∴BC⊥面PDC,
又DE平面PDC,
∴DE⊥BC,                                          ①
在Rt△PDC中,PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC,                                          ②
又PC∩BC=C,                                       ③
由①②③得,DE⊥面PBC。

(2)解:作EF⊥DC交CD于F,连结BF,
设正方形ABCD的边长为a
∵ PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥DC,
∴EF∥PD,F为DC的中点,
∴EF⊥底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角。
在RtΔBCF中,

∴在RtΔEFB中,
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

举一反三
直线⊥平面,直线,则[      ]
A.⊥m
B.可能和m平行
C.和m相交
D.和m不相交
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若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于[     ]
A.平面OAB
B.平面OAC
C.平面OBC
D.平面ABC
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P是四边形ABCD所在平面外一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。
(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面APD;
(2)求证:AD⊥PB。
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如图,在RtΔAOB中,,斜边AB=4。RtΔAOC可以通过在RtΔAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上。
(1)求证:CO⊥平面AOB;
(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;
(3)求CD与平面AOB所成的角最大时的正切值。
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如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B 两点的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是
[     ]
A.1
B.2
C.3
D.4
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