如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=。(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=。(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(

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如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P和的大小。
答案
解:(1)如图所示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,ΔBCD是等边三角形
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD,
又AB∥CD,
所以BE⊥AB
又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,
所以PA⊥BE
而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB
又BE平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB。(2)由(1)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,
所以PB⊥BE
又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角
在RtΔPAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°
故二面角A-BE-P的大小是60°。
举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8, AB=2DC=
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积。
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥A′D,截面PQGH∥AD′,
(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;
(Ⅲ)若b=,求D′E与平面PQEF所成角的正弦值。
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥A′D,截面PQGH∥AD′,
(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;
(Ⅲ)若D′E与平面PQEF所成的角为45°,求D′E 与平面PQGH所成角的正弦值。
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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E。
(1)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1
(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
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如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。
(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN的长;
(2)用反证法证明:直线ME与BN 是两条异面直线。
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