如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E。（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E。
（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值。

答案

解：（1）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面ABC
又DE平面ABC，
所以DE⊥AA₁
而DE⊥A₁E，AA₁∩A₁E=A₁，
所以DE⊥平面ACC₁A₁
又DE平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁。（2）过点A作AF垂直于点，连接DF
由（1）知，平面⊥平面，
所以AF平面，
故直线AD和平面A₁DE所成的角。
因为DE⊥
所以DE⊥AC
而△ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=2，AE=4-CE=4-=3
又因为AA₁=
所以A₁E===4
，
即直线AD和平面所成的角的正弦值为。