如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′，（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面P

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′，
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（Ⅲ）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E 与平面PQGH所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：在正方体中，，
又由已知可得，
 所以，
所以PH⊥平面PQEF，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值．

（Ⅲ）解：连结BC′交EQ于点M，
因为，
所以平面和平面PQGH互相平行，
因此D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等，
与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，
可知EM⊥平面ABC′D′，
因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值．
设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=1-b知
，
因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45°角，
所以，
即，
解得，可知E为BC中点，所以EM=，
又，
故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为。