本试题主要考查了立体几何中,空间点线面的位置关系的运用。第一问中,利用△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴AM⊥C1M且AM=C1M 又因为CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM,AM⊥CM。所以点M为BC边的中点 二问中,利用作辅助线,表示,即为所求 三问中,过点C作CI⊥AC1于I,连HI,∵CH⊥平面C1AM,作出二面角的大小,然后借助于定义法得到结论。 (Ⅰ)∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴AM⊥C1M且AM=C1M ∵三棱柱ABC—A1B1C1,∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM,AM⊥CM。 ∵底面ABC为边长为a的正三角形,∴点M为BC边的中点 --------------------4分 (Ⅱ)过点C作CH⊥MC1,由(Ⅰ)知AM⊥C1M且AM⊥CM, ∴AM⊥平面C1CM ∵CH在平面C1CM内,∴CH⊥AM, ∴CH⊥平面C1AM 由(Ⅰ)知,AM=CM=,CM= ∴∴ ∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为-------------------8分 (Ⅲ)过点C作CI⊥AC1于I,连HI,∵CH⊥平面C1AM, HI⊥AC1,∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角 ∴HI为CI在平面C1AM内的射影, ∴HI⊥AC1,∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角,在直角三角形ACC1中 , ∴∠CIH=45°, ∴二面角M—AC1—C的大小为45° |