已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点.（1）求证：A1C⊥平面AB1D1；（2）求.

题型：不详难度：来源：

已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，
O是底面ABCD对角线的交点.
（1）求证：A₁C⊥平面AB₁D₁；
（2）求.

答案

（1） 面            1分          
又，                       2分
                                            3分
同理可证，                                     4分
又
面                                        5分
（2）法1:建系求解，求出平面的法向量得7分，直线AC的向量得8分，求出正确结果的得10分；法2：直线AC与平面所成的角实际上就是正四面体ACB₁D₁的一条棱与一个面所成的角，余弦值为，从而正切值为.
法3：直线AC与平面所成的角实际上就是直线AC 与平面所成的角      
法2、法3指出线面角得8分，计算出正确结果得10分

解析

（1）证明线面垂直，需要证明直线垂直这个平面内的两条相交直线，本题只需证：即可.
（2）可以利用向量法，也可以根据平面A₁ACC₁与平面AB₁D₁垂直，可知取B₁D₁的中点E，则就是直线AC与平面AB₁D₁所成的角.然后解三角形即可.