如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

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如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

答案

解析

（Ⅰ）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接CN，在△AOB中，且OA=OB,。在Rt△AON中，,。


在△ONB中，.。又AB=3AQ，Q为AN的中点。在△CAN中，分别为AC,AN的中点，.由OAOC，OAON知：OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.
（Ⅱ）连结PN,PO.
由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。
又ON平面OAB， OCON.又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影。
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，ACOP。
根据三垂线定理，知：ACNP.
为二面角O-AC-B的平面角。
在等腰Rt△COA中，OC="OA=1," OP=。
在Rt△AON中，ON=OA=，
在Rt△PON中，PN==,
cos。
解法二:
(Ⅰ)取O为坐标原点，以OA,OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）。
则A(1,0,0),C（0,0,1），B。
。。
又由已知，可得
又..
.故。
（Ⅱ）记平面ABC的法向量，则由n,n，且=（1,0，-1）。
得故可取。
又平面OAC的法向量为e=（0,1,0）。

二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为，则。