本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力
解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面平面,则MO⊥平面,所以MO∥AB,A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角. OB=MO=,MO∥AB,则,,所以,故. (2)CE是平面与平面的交线. 由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形. 作BF⊥EC于F,连AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为. 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°. , , 所以,所求二面角的正弦值是. 解法二:取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD,又平面平面,则MO⊥平面. 以O为原点,直线OC、BO、OM为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图. OB=OM=,则各点坐标分别为O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2), (1)设直线AM与平面BCD所成的角为. 因(0,,),平面的法向量为.则有,所以. (2),. 设平面ACM的法向量为,由得.解得,,取.又平面BCD的法向量为,则 设所求二面角为,则. |