[方法一]:(几何法) (I)证法一:如图1,∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC. ∵SD⊥底面ABCD,∴DC是SC在平面ABCD上的射影, 由三垂线定理得BC⊥SC.…………3分 证法二:如图1,∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC. ∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥BC,又DC∩SD=D, 图1 ∴BC⊥平面SDC,∴BC⊥SC.…………3分 (II)解法一:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形, ∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD, 如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角, ∵SC⊥BC,BC//A1S,∴SC⊥A1S, 又SD⊥A1S,∴∠CSD为所求二面角的平面角. 在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,在Rt△SDC中, 由勾股定理得SD=1. ∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………8分 解法二:如图3,过点S作直线在面ASD上, ∵底面ABCD为正方形,在面BSC上, 为面ASD与面BSC的交线.
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角. 在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,在Rt△SDC中, 由勾股定理得SD=1. ∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角 为45°。…8分 (III)解法一:如图3,∵SD=AD=1,∠SDA=90°,∴△SDA是等腰直角三角形. 又M是斜边SA的中点, ∴DM⊥SA. ∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,∴BA⊥面ASD,SA是SB在面ASD上的射影. 由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分 解法二:如图4,取AB中点P,连结MP,DP. 在△ABS中,由中位线定理得 MP//SB,是异面直线DM与SB所成的角. , 又 ∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2, 即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分 [方法二]:(向量法) 解析:如图所示,以D为坐标原点建立直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), M(,0,), ∵ SB=,DB=,SD=1,∴ S(0,0,1),……………2分 (I)证明:∵ , ="0 " ∴ ,即BCSC.……………5分 (II)设二面角的平面角为θ,由题意可知平面ASD的一个法向量为,设平面BSC的法向量为,由, 得, ∴ 面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………10分 (III)设异面直线DM与SB所成角为α, ∵ ,SB=(-1,-1,1),得 ∴ 异面直线DM与SB所成角为90°.……………14分 |