(1)∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,DA、DC、DD1两两互相垂直, ∴以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴,建立如图空间直角坐标系 可得D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),M(0,1,2),N(0,2,1) ∴向量=(-2,2,-1),=(0,1,-2) 根据空间向量的夹角公式,得cos<,>== 设异面直线A1N与MC所成角为θ 可得cosθ=|cos<,>|=,即异面直线A1N与MC所成角的余弦值为; (2)由(1)中所建立的坐标系,得 ∵P为线段AD上任意一点, ∴设P(x,0,0),其中x∈[0,2] 可得=(-x,2,1) ∵=(0,1,-2), ∴•=0×(-x)+1×2+(-2)×1=0 由此可得⊥,即P为线段AD上任意一点,都有MC⊥PN成立. |