如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AC1=c,点M为AB的中点,点N为BC的中点.(1)求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积;(
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如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AC1=c,点M为AB的中点,点N为BC的中点.(1)求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积;(
题型:不详
难度:
来源:
如图在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=a,AD=b,AC
1
=c,点M为AB的中点,点N为BC的中点.
(1)求长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的体积;
(2)若a=4,b=2,
c=
21
,求异面直线A
1
M与B
1
N所成的角.
答案
(1)连AC、AC
1
,∵△ABC是直角三角形,∴
AC=
a
2
+
b
2
.
∵ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是长方体,∴C
1
C⊥BC,C
1
C⊥CD,
又DC∩BC=C,∴C
1
C⊥平面ABCD,∴C
1
C⊥AC.
又在Rt△ACC
1
中,AC
1
=c,
AC=
a
2
+
b
2
,∴
C
C
1
=
c
2
-
a
2
-
b
2
,
∴
V
ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
=ab
c
2
-
a
2
-
b
2
(2)取AD的中点E,连A
1
E、EM,
∵
EN
∥
.
.
AB
∥
.
.
A
1
B
1
,∴四边形A
1
B
1
NE为平行四边形,
∴A
1
E
∥
B
1
N,∴∠EA
1
M等于异面直线A
1
M与B
1
N所成的角或其补角.
∵AM=2,AE=1,AA
1
=1,得
A
1
M=
5
,
A
1
E=
2
,
EM=
5
,
∴
cos∠E
A
1
M=
2
2•
5
=
10
10
,
∠E
A
1
M=arccos
10
10
.
∴异面直线A
1
M与B
1
N所成的角等于
arccos
10
10
举一反三
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=2.
(1)求证:SA⊥CD;
(2)求异面直线SB与CD所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,下列几种说法正确的是( )
A.A
1
C
1
⊥AD
B.D
1
C
1
⊥AB
C.AC
1
与DC成45°角
D.A
1
C
1
与B
1
C成60°角
题型:不详
难度:
|
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如图是无盖正方体纸盒的展开图,在原正方体中直线AB,CD所成角的大小为______.
题型:不详
难度:
|
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在正四面体ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,则AE与CF所成角的余弦值为( )
A.-
2
3
B.
2
3
C.-
1
3
D.
1
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,BB
1
=BC,P为C
1
D
1
上一点,则异面直线PB与B
1
C所成角的大小( )
A.是45°
B.是60°
C.是90°
D.随P点的移动而变化
题型:不详
难度:
|
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