(1)过D向平面β作垂线,垂足为O,连接OA并延长至E, ∵AB⊥AD,OA为DA在平面β内的射影, ∴AB⊥OA,∴∠DAE为二面角α-l-β的平面角 (2分) ∴∠DAE=120°,∠DAO=60°, ∵AD=AB=2,∴Rt△ADO中,DO=ADsin60°=, ∵△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2. ∴S△ABC=×2×1=1, 又∵D到平面β的距离DO=, ∴VD-ABC=×S△ABC×DO=.(4分) (2)过O在β内作OM⊥AC于M,连接DM,则AC⊥DM, ∴∠DMO为二面角D-AC-B的平面角,(6分) 在△DOA中,OA=2cos60°=1,且∠OAM=∠CAE=45°, ∴Rt△OAM中,OM=OAsin45°=, ∴Rt△ODM中,tan∠DMO==, 因此,∠DMO=arctan,即二面角D-AC-B的大小为arctan.(8分) (3)在β内过C作AB的平行线交AE于F, ∴∠DCF(或其补角)为异面直线AB、CD所成的角 (10分) ∵AB⊥AF,AB⊥AD,CF∥AB, ∴CF⊥DF,结合∠CAE=45°,得△ACF为等腰直角三角形, 又∵AF等于C到AB的距离,即为△ABC斜边上的高, ∴AF=CF=AB=1, ∴DF2=AD2+AF2-2AD•AF•cos120°=7,得DF= 在Rt△DCF中,tan∠DCF==,得∠DCF=arctan, 即异面直线AB、CD所成的角为arctan.(12分) |