A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
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A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角. |
答案
(1)见解析 (2)45° |
解析
解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角. 在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°. |
举一反三
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C与截面DBC1交于O点,AC,BD交于M点,求证:C1,O,M三点共线.
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如图,已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且==2.求证:直线EG,FH,AC相交于一点.
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如图是正方体的展开图,则在这个正方体中:
①BM与ED平行; ②CN与BE是异面直线; ③CN与BM成60°角; ④DM与BN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) |
点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点,如图所示,则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号).
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形; ②过点F、D1、G的截面是正方形; ③点P在直线FG上运动时,总有AP⊥DE; ④点Q在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1QC的体积是定值; ⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点,则点M的轨迹是一条线段. |
已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF=,求AB和CD所成角的余弦值.
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