(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=, ∴BD=2,BC=4, ∴DC=2, 则BC2=DB2+DC2, ∴BD⊥DC, ∵PD⊥平面ABCD, ∴BD⊥PD, 而PD∩CD=D, ∴BD⊥平面PDC. ∵PC在平面PDC内, ∴BD⊥PC. 解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.
∵PD⊥平面ABCD, ∴平面PDC⊥平面ABCD, ∴FG⊥平面PDC, ∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角. 在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3, ∴tan∠FDG=, ∴∠FDG=60°. ∴直线AB与平面PDC所成角为60°. (3)连接EF,
∵DF∥AB, ∴DF∥平面PAB. ∵DE∥平面PAB, ∴平面DEF∥平面PAB, ∴EF∥AB,如图所示, ∵AD=1,BC=4,BF=1, ∴==, ∴=, 即λ=. |