在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,
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在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,
题型:不详
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在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,
求证:GM∥平面ABFE.
答案
见解析
解析
证明:方法一:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
所以∠EGF=90°,
△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,因此BC=2FG.
连接AF,由于FG∥BC,FG=
BC,
在▱ABCD中,M是线段AD的中点,则AM∥BC,
且AM=
BC,因此FG∥AM且FG=AM,
所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA.
又FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,
所以GM∥平面ABFE.
方法二:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
∴∠EGF=90°,
△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,∴BC=2FG.
取BC的中点N,连接GN,
因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.
在▱ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,
则MN∥AB.
∵MN∩GN=N,∴平面GMN∥平面ABFE.
又GM⊂平面GMN,∴GM∥平面ABFE.
举一反三
如图所示,四边形EFGH所在平面为三棱锥A-BCD的一个截面,四边形EFGH为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
题型:不详
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如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点M在AD
1
上移动,点N在BD上移动,D
1
M=DN=a(0<a<
),连接MN.
(1)证明对任意a∈(0,
),总有MN∥平面DCC
1
D
1
.
(2)当a为何值时,MN的长最小?
题型:不详
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设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;
②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,则l∥n.
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
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对于直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
题型:不详
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设α,β表示两个不同平面,l,m表示两条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,l⊂α,m⊂β,则α⊥β
B.若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m
C.若l∥m,l⊂α,m⊥β,则α∥β
D.若l⊥α,m⊥β,α∥β,则l∥m
题型:不详
难度:
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