试题分析:本题主要考查几何体中的线线平行与垂直的判定、线面平行与垂直的判定,以及空间向量法求二面角等数学知识,考查空间想象能力和逻辑思维能力,考查基本计算能力.第一问,利用已知的边长,得出与相似,从而得到与垂直,利用面面垂直的性质定理得面,作出辅助线和及,通过条件可得,最后利用线面平行的判定证明平面;第二问,利用已知的垂直关系,建立如图的空间直角坐标系,写出各点的坐标,关键是求出平面和平面的法向量,利用夹角公式求出余弦值. 试题解析:(I) 又 , 过点作,垂足为,则,且, 2分 过作,交于,过作交于,连结, ∵,∴,∴四边形是平行四边形, , 6分
(II)如图建立空间直角坐标系,则
A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2), C(1,1,),=(0,﹣2,2),=(1,﹣1,), 8分 设平面CDE的一个法向量为=(x,y,z), 则有,则﹣2y+2z=0,x﹣y+z=0, 取z=2,则y=2,x=0,所以=(0,2,2), 10分 平面AEC的一个法向量为=(﹣2,2,0), 11分 故cos<,>= 12分 |