三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心. （Ⅰ）求证∥面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设为中点，求二面角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心.

（Ⅰ）求证∥面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）设为中点，求二面角的余弦值.

答案

（Ⅰ）先证∥ （Ⅱ）先证平面 （Ⅲ）

解析

试题分析：（Ⅰ）连结交于点，连结.
为正三角形的中心，∴,
且为中点.又， ∴∥,                  
平面，平面
∴∥面．              
（Ⅱ）,且为中点, ∴,
又平面平面，
∴平面,            
由（Ⅰ）知，∥，
∴平面,∴                  
连结,则,又,
∴平面,∴．
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，两两互相垂直，且为中点，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图

，则
∴
设平面的法向量为，则，
令，则．                              
由（Ⅱ）知平面,∴为平面的法向量，
∴，
由图可知，二面角的余弦值为 ． 
点评：本题考查直线与平面的平行的判断，在与平面垂直的性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，以及逻辑推理能力．