如图,中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.

如图,中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,中,侧棱与底面垂直,,,点分别为的中点.

(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
答案
(1)利用线线平行证明线面平行;(2)利用定义法或向量法求二面角
解析

试题分析:

(1)证法一: 连接                    1分
由题意知,点分别为的中点,
.                               3分
平面,平面,   5分
平面.                    6分
证法二:取中点,连,而 分别为的中点,
,   2分
,, ,
同理可证               4分
 平面//平面.   5分
平面平面.     6分
证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线
轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.

于是
,,

向量是 平面的一个法向量   2分
  4分
                         5分
平面.                 6分
(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线
轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.
于是,,  8分
由(1)知是平面的一个法向量, .   10分
设平面的法向量为,,,
,
                12分
设向量和向量的夹 角为,则
  13分
二面角的的正弦值为  14分
解法二(几何法):如图,将几何体补形成一 个正方体,连交于点,连,

显然,,都在同一平面上.…………7分
易证,,
平面,平面,
,又
平面.
中点,连,
分别是的中点
,
平面,   …………9分
为垂足,即平 面,过点,
,连,
即是所求二面角的补角. …………11分
中,,
,,
中,,

中,, …………12分
. …………13分
所求二面角的正弦值为 …………14分
点评:高考中对立体几何解答题的考查一般都体现为一题两法(同一题两种解法:传统法与向量法).而运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上,它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题,淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法,强化了代数运算,从而降低了思维难度,且思路明确,过程较为程序化.
举一反三
已知直线,平面,且,给出四个命题:   ①若,则;②若,则;③若,则∥m;④若∥m,则.其中真命题的个数是
A.4B.3C.2D.1

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如图所示,已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC , 为等边三角形,F为ED边上的中点,且

(Ⅰ)求证:CF∥面ABE;
(Ⅱ)求证:面ABE ⊥平面BDE;
(Ⅲ)求该几何体ABECD的体积。
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如图,底面△为正三角形的直三棱柱中,的中点,点在平面内,

(Ⅰ)求证:;  
(Ⅱ)求证:∥平面
(Ⅲ)求二面角的大小.
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如图,在正方体中,分别为棱的中点,则在空间中与直线、CD都相交的直线有
A.1条B.2条C.3条D.无数条

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已知二面角α–l-β的平面角为45°,有两条异面直线a,b分别垂直于平面,则异面直线所成角的大小是                
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