如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB, PC的中点 (1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥CD; (3)
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如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB, PC的中点
(1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)若ÐPDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小. |
答案
(1)∵ABCD是矩形,取PB的中点为G,连GF,GE,证得平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。(2)证明△PAE≌△CBE,得出EF⊥PC。又CD⊥GE证得CD⊥平面GEF,推出EF⊥CD。 (3)EF与面ABCD所成的角为45°。 |
解析
试题分析:(1)∵ABCD是矩形,取PB的中点为G,连GF,GE,由三角形中位线定理,知GF//BC//AD,GE//PA,又GE与GF交于G,PA与AD交于A,所以平面GEF//平面PAD,EF∥平面PAD。
(2)∵ABCD是矩形,∴CB=AD、∠CBE=90°、BC⊥CD。 ∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAE=90°。 ∵PA=AD、CB=AD,∴PA=CB,又AE=BE、∠PAE=∠CBE=90°,∴△PAE≌△CBE, ∴CE=PE,而F∈PC且PF=CF,∴EF⊥PC。 ∵G、F分别是PB、PC的中点,∴GF是△PBC的中位线,∴GF∥BC,而BC⊥CD, ∴CD⊥GF。 ∵G、E分别是PB、AB的中点,∴GE是△BPA的中位线,∴GE∥PA,而PA⊥平面ABCD, ∴GE⊥平面ABCD,∴CD⊥GE。 由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF=G,∴CD⊥平面GEF,∴EF⊥CD。 (3)过F作FO⊥AC交AC于O。 ∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥EO,得:FO∥PA,FO⊥EO,AO=CO。 由PF=CF,FO∥PA,得:FO=PA。 由AE=BE,AO=CO,得:EO=BC。 由PA⊥面ABCD,FO∥PA,得:FO⊥面ABCD,∴∠FEO就是EF与面ABCD所成的角。 ∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,结合证得的FO=PA, 得:FO=AD。 ∵ABCD是矩形,∴AD=BC,结合证得的EO=BC,得:EO= AD。 由FO=AD,EO=AD,FO⊥EO,得:∠FEO=45°。 即:EF与面ABCD所成的角为45°。 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。 |
举一反三
在正三棱柱中,若AB=2,则点A到平面的距离为( ) |
在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G为AD中点.
(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实; (2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小; (3)求点G到平面BCE的距离. |
若a,b是两条直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若a∥b,则a平行于经过b的任何平面 | B.若a∥α,则a与α内任何直线平行 | C.若a∥α,b∥α,则a∥b | D.若a∥b,a∥α,bα,则b∥α |
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如图,在直棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=2,∠ACB=90º,AA1=2,E,F分别为AB、CB中点,过直线EF作棱柱的截面,若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60º,则截面的面积为( ).
A.3或1 B.1 C.4或1 D.3或4 |
如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AB=AD,BC=DC.
(1)求证:平面EFGH; (2)求证:四边形EFGH是矩形. |
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