试题分析:(Ⅰ)证明:如图,连结PO,
在等边△ABC中,因为O是AC的中点,且AC=4, 所以BO⊥AC,BO=。 在直角△PAC中,因为O是斜边AC的中点,且AC=4, 所以PO=2, 在△PBO中,由PB=4,得PB2=PO2+BO2, 所以BO⊥PO。 3分 又因为AC∩PO=O,AC平面PAC,PO平面PAC, 所以BO⊥平面PAC, 5分 又因为PA平面PAC, 所以BO⊥PA。 7分 (Ⅱ)答:线段AC上存在点Q,使得△PQB为直角三角形。 具体过程如下: 如图,过P作PM⊥AC于点M,连结BM, 因为BO⊥平面PAC, 所以BO⊥PM。 又因为BO∩AC=O,BO平面ABC,AC平面ABC, 所以PM⊥平面ABC, 10分 所以PM⊥BM,即△PMB为直角三角形。 故当点Q与点M重合时,△PQB为直角三角形。 12分 在直角△PAC中,由∠APC=90°,AC=2PA=4, 得AM=1,(即AQ=1),MC=3(即QC=3), 所以当时,△PQB为直角三角形。 14分 点评:线线垂直与线面垂直之间可以互为条件结论,本题主要利用两者间的互相推出关系证明计算 |