试题分析:(1)∵平面,平面, ∴ 又为正方形,∴.又,…………3分 ∴平面 ∵平面,∴. ………………………………5分 ∵中,中位线,∴ ……………6分 (2)记AD中点为H,连结FH、HG,易知GH//DC,, 又中EF//DC,∴EF//GH所以E、F、H、G四点共面……7分 ∴平面EFG与平面ABCD交于GH,所求锐二面角为F-GH-D.……………8分 由(1)平面,EF//DC//GH∴平面 即平面FHD,平面FHD, 所以FH,DH, ∴二面角F-GH-D的平面角是 ……………………11分 FH是等腰直角的中位线,= …………………………13分 ∴所求锐二面角的余弦值为.………………14分 证法2:DA、DC、DP两两垂直,以为原点建立空间直角坐标系…1分
则,, ,,G(1,2,0), ………3分 (1), ………………4分 ∵ ∴……6分 ∴ ………………………………………7分 (2)∵平面, ∴是平面的一个法向量.………9分 设平面EFG的法向量为,∵ 令,得是平面的一个法向量. …………11分 ∵ …………………………13分 ∴所求锐二面角的余弦值为. ……………………………14分 点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。 |