如图示,四棱锥P----ABCD的底面是边长为1的正方形,PA^CD,PA = 1, PD = ,E为PD上一点,PE = 2ED.(1)  求证:PA ^平

如图示,四棱锥P----ABCD的底面是边长为1的正方形,PA^CD,PA = 1, PD = ,E为PD上一点,PE = 2ED.(1)  求证:PA ^平

题型:不详难度:来源:
如图示,四棱锥P----ABCD的底面是边长为1的正方形,PA^CD,PA = 1, PD = ,E为PD上一点,PE = 2ED.
(1)  求证:PA ^平面ABCD;
(2)  求二面角D---AC---E的正切值;
(3) 在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF // 平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,
说明理由.

答案

解:(1)  PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
 PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ^ AD---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D,

 PA ^平面ABCD-------4分
(2)过E作EG//PA 交AD于G,从而EG ^平面ABCD,
且AG =" 2GD" , EG = ,PA = , ------5分
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ,交AC于H,
连接EH. GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角.-----6分
tanÐEHG == . -------8分
(3)以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系]
则A(0 ,0, 0),B(1,0,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , ,), =" (1,1,0),"  =" (0" , , )---9分
设平面AEC的法向量=" (x," y,z) , 则
 ,即:, 令y =" 1" ,
 =" (-" 1,1, - 2 )-------------10分
假设侧棱PC上存在一点F, 且 ,
(0 £ £ 1), 使得:BF//平面AEC, 则× = 0. 又因为:+  = (0 ,1,0)+
(-,-,)= (-,1-,),× =+ 1- - 2 =" 0" ,  = ,所以存在PD的中点F,
使得BF//平面AEC. ----------------12分
解析

举一反三
(本小题满分13分)
如图5所示:在边长为的正方形中,,且
分别交两点, 将正方形沿折叠,使得重合,
构成如图6所示的三棱柱 .
( I )在底边上有一点,且::, 求证:平面 ;
( II )求直线与平面所成角的正弦值

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.(本小题满分12分)
如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点DAB的中点,
(I)求证: AC 1//平面CDB1
(II)求二面角C1-AB-C的平面角的正切值。

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下列命题中错误的是( ).
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若=AB,//AB,则

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(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小分7分.)
如图所示,正三棱柱的底面边长与侧棱长均为中点.
(1)求证:∥平面
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

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已知三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,平面ABC,且PA=1,
则点A到平面PBC的距离为(      )
A.1B.C.D.

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