(本小题共13分) 如图,在三棱锥中,底面ABC,点、分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成角的大小的余弦值;(Ⅲ)是否存在点,使得
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(本小题共13分) 如图,在三棱锥中,底面ABC,点、分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成角的大小的余弦值;(Ⅲ)是否存在点,使得
题型:不详
难度:
来源:
(本小题共13分) 如图,在三棱锥
中,
底面ABC
,点
、
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成角的大小的余弦值;
(Ⅲ)是否存在点
,使得二面角
为直二面角?并说明理由.
答案
解:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC. 又
,∴AC⊥BC.
又
∴BC⊥平面PAC.————3分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC, ∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,————5分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
与平面
所成的角的大小的余弦值
.————8分
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角
的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
,
故存在点E使得二面角
是直二面角.————13分
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
, ————1分
设
,由已知可得
.
(Ⅰ)∵
,∴
,∴BC⊥AP.
又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC. ————3分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴
, ∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵
,
∴
.————7分
∴
与平面
所成的角的大小的余弦值
.————8分
解析
略
举一反三
若
是互不相同的空间直线,
是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是
A.若
,则
B.若
,则
C.
D.若
,则
题型:不详
难度:
|
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下列结论中,正确的有( )
①若a
α,则a∥平面α ②a∥平面α,b
α则a∥b
③平面α∥平面β,a
α,b
β则a∥b ④平面α∥平面β,点P∈α,a∥β且P∈a则a
α
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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(本题满分13分)如图,线段
,
所在直线是异面直线,
,
,
,
分别是线段
,
,
,
的中点.
(1) 求证:
共面且
面
,
面
;
(2) 设
,
分别是
和
上任意一点,求证:
被平面
平分.
题型:不详
难度:
|
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已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,
且a⊥α,b⊥β,则下列命题中为假命题的是
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交
D.若α,β相交,则a,b相交
题型:不详
难度:
|
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如图,假设平面
,
⊥
,
⊥
,垂足分别是B、D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面4个条件:
①
⊥
;
②
与
所成的角相等;
③
与
在
内的射影在同一条直线上;
④
∥
.
其中能成为增加条件的是_____________.(把你认为正确的条件的序号都填上)
题型:不详
难度:
|
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