(10分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN//平面PAD（2）求证：MN⊥CD（3）若∠PDA=45°，求证：

题型：不详难度：来源：

(10分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN//平面PAD
（2）求证：MN⊥CD
（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

答案

证明：（1）如图，取PD的中点E，连结AE、EN则有EN//CD//AB//AM，
且EN=CD=AB=MA.

∴四边形AMNE是平行四边形.
∴MN//AE.
∵AE平面PAD，MN平面PAD，
∴MN//平面PAD. …………3分
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，
∴MN⊥CD. …………6分
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PAD=45°，E是PD中点，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.
又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.…………10分

解析

略