解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形, ∴四边形AOEM是平行四边形, ∴AM∥OE. ∵平面BDE, 平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS, ∵AB⊥AF, AB⊥AD, ∴AB⊥平面ADF, ∴AS是BS在平面ADF上的射影, 由三垂线定理得BS⊥DF. ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 在RtΔASB中, ∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º. 方法二: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。
设,连接NE, 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),
又点A、M的坐标分别是 ()、(
∴NE∥AM. 又∵平面BDE, 平面BDE, ∴AM∥平面BDF. (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ∴AB⊥平面ADF.
即所求二面角A—DF—B的大小是60º. |