解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, 1分 ∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形, ∴四边形AOEM是平行四边形, 2分 ∴AM∥OE. ∵平面BDE, 平面BDE, 4分 ∴AM∥平面BDE. (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS, ∵AB⊥AF, AB⊥AD, ∴AB⊥平面ADF, 6分 ∴AS是BS在平面ADF上的射影, 由三垂线定理得BS⊥DF. ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 在RtΔASB中, ∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º. 8分 (Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD, ∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,, ∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF, ∴PQ⊥QF. 9分 在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ. ∵ΔPAQ为等腰直角三角形, ∴ 10分 又∵ΔPAF为直角三角形, ∴, ∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点. 12分 方法二( 仿上给分) (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。
设,连接NE, 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),
又点A、M的坐标分别是 ()、(
∴NE∥AM. 又∵平面BDE, 平面BDE, ∴AM∥平面BDF. (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ∴AB⊥平面ADF.
即所求二面角A—DF—B的大小是60º. (Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得
又∵PF和AD所成的角是60º. ∴ 解得或(舍去), 即点P是AC的中点. |