(I)证明:四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1//CC1, 又面ABB1A1,所以CC1//平面ABB1A1, …………2分 ABCD是正方形,所以CD//AB, 又CD面ABB1A1,所以CD//平面ABB1A1, …………3分 所以平面CDD1C1//平面ABB1A1, 所以C1D//平面ABB1A1 …………4分 (II)解:ABCD是正方形,AD⊥CD 因为A1D⊥平面ABCD, 所以A1D⊥AD,A1D⊥CD, 如图,以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz, …………5分
在中,由已知可得 所以,
…………6分 因为A1D⊥平面ABCD, 所以A1D⊥平面A1B1C1D1 A1D⊥B1D1。 又B1D1⊥A1C1, 所以B1D1⊥平面A1C1D, …………7分 所以平面A1C1D的一个法向量为n=(1,1,0) …………8分 设与n所成的角为, 则 …………9分 所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为 …………10分 (III)解:平面A1C1A的法向量为 则 所以 令可得 …………12分 设二面角D—A1C1—A的大小为a, 则 所以二面角的余弦值为 …………13分 |