(I)如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连接PE.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB, ∵PA=PD,∴OA=OD, 于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角, ∴∠PEB=120°,∠PEO=60° 由已知可求得PE= ∴PO=PE•sin60°=×=, 即点P到平面ABCD的距离为. (II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.P(0,0,),B(0,,0),PB中点G的坐标为(0,,).连接AG.
又知A(1,,0),C(-2,,0).由此得到: =(1,-,-), =(0,,-),=(-2,0,0). 于是有•=0,•=0 所以⊥•⊥.,的夹角θ 等于所求二面角的平面角, 于是cosθ==-, 所以所求二面角的大小为π-arccos. 解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=BC.
∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB, ∴∠AGF是所求二面角的平面角. ∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG. 又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中,EG=PE•cos60°=. 在Rt△PEG中,EG=AD=1. 于是tan∠GAE==, 又∠AGF=π-∠GAE. 所以所求二面角的大小为π-arctan. |