证明:(1)取SD中点E,连接AE,NE, 则NE=CD=AM,NE∥CD∥AM, ∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE…(1分) 又∵MN⊄平面SAD,AE⊂平面SAD, ∴MN∥平面SAD…(3分) (2)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥CD,∵底面ABCD为矩形,∴AD⊥CD, 又∵SA∩AD=A,SA⊂平面SAD,AD⊂平面SAD, ∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥SD ∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角, 即∠SDA=45°…(5分) ∴△SAD为等腰直角三角形,∴AE⊥SD ∵CD⊥平面SAD,∴CD⊥AE, 又SD∩CD=D,SD⊂平面SCD,CD⊂平面SCD ∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE,∴MN⊥平面SCD, ∵MN⊂平面SMC, ∴平面SMC⊥平面SCD…(8分) (3)∵=λ,设AD=SA=a,则CD=λa 由(2)可得MN⊥平面SCD,∴SN即为SM在平面SCD内的射影 ∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角, 即∠MSN=30°…(9分) 而MN=AE=a, ∴Rt△SAM中,SM=,而MN=AE=a, ∴Rt△SAM中,由sin∠MSN= 得=,解得λ=2 当λ=2时,直线SM与平面SCD所成角为30°(14分)
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