如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC,(1)求证:BC⊥平面P
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如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC,(1)求证:BC⊥平面P
题型:不详
难度:
来源:
如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE
∥
BC,
(1)求证:BC⊥平面PAC
(2)当D为PB中点时,求AD与平面PAC所成的角的余弦值;
(3)是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角,并说明理由.
答案
(1)
PA⊥底面ABC
BC⊂平面ABC
⇒PA⊥BC
BC⊥AC
AC∩PA=A
AC,PA⊂平PAC
⇒BC⊥平面PAC
(2)建立空间直角坐标系如图,各点坐标分别为:
P(0,0,1),B(0,1,0),C
(
3
4
,
3
4
,0)
D(0,
1
2
,
1
2
),E(
3
8
,
3
8
,
1
2
)
∴
AD
=(0,
1
2
,
1
2
),
AE
=(
3
8
,
3
8
,
1
2
)
,
由DE⊥平面PAC可知,∠DAE即是所求的二面角的平面角.∴
cos<
AD
,
AE
>=
AD
•
AE
|AD|
|
AE
|
=
14
4
,
故所求二面角的余弦值为
14
4
(3)设D点的y轴坐标为a,DE⊥AE,DE⊥PE,当A-DE-P为直二面角时,PE⊥AE
AE
=(
3
3
a,a,1-a),
PE
=(
3
3
a,a,-a),得
AE
•
PE
=
1
3
a
2
+
a
2
-a+
a
2
=0⇒a=
3
7
∴
E(
3
7
,
3
7
,
4
7
)
,所以符合题意的E存在.
举一反三
正四面体ABCD中,E、F分别是棱BC、AD的中点,则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为( )
A.
2
2
3
B.
3
3
C.
6
3
D.
2
2
题型:不详
难度:
|
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如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l 上的射影为A
1
,点B在l的射影为B
1
,已知AB=2,AA
1
=1,BB
1
=
2
,求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A
1
-AB-B
1
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M,
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角;
(3)求点O到平面ABM的距离.
题型:江西
难度:
|
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如图,在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F、G分别是CB.CD.CC
1
的中点.
(1)求直线 A
1
C与平面ABCD所成角的正弦的值;
(2)求证:平面A B
1
D
1
∥
平面EFG.
题型:不详
难度:
|
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如图,正△ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为______.
题型:不详
难度:
|
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