如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，M是EA的中点，（1）平面DEA⊥平面ECA．（2）求直线AD与面AEC所成角的正弦

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，M是EA的中点，
（1）平面DEA⊥平面ECA．
（2）求直线AD与面AEC所成角的正弦值．

答案

（1）取AC中点N，连接MN、NB，
∵MN是△ACE的中位线，

∴MN

∥

.

1

2

EC．
又∵BD

∥

.

1

2

EC，∴四边形MNBD是平行四边形，
∵BD⊥平面ABC，结合BN?平面ABC可得BN⊥BD
∴四边形MNBD是矩形，可得BN⊥MN
∵△ABC为正三角形，N为AC中点，∴BN⊥AC
∵AC、MN是平面AEC内的相交直线
∴BN⊥平面ECA，
∵DM∥BN，∴DM⊥平面ECA，
∵DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．
（2）设等边三角形ABC的边长为2，可得
等腰Rt△AEC中，AC=CE=2，AE=

AC2+CE2

=2

2

由（1）得DM⊥平面ECA，可得∠EAD就是直线AD与面AEC所成角
DM=BN=

3

2

AC=

3

∴Rt△AMD中，AD=

AM2+DM2

=

5

，
可得sin∠EAD=

DM

AD

=

15

5

，即直线AD与面AEC所成角的正弦值等于

15

5

．