已知正方形ABCD的边长为1,沿对角线AC把△ACD折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为______.
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已知正方形ABCD的边长为1,沿对角线AC把△ACD折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为______. |
答案
如图所示,O为正方形ABCD的中心, ∵BO⊥AC,DO⊥AC, ∴AC⊥面BOD, ∵AC?面ABC,∴面BOD⊥面ABC ∴BD在面ABC的射影是BO,∠BDO=φ是直线BD与面ABC所成角. 设∠BOD=θ(0°<θ<180°),正方形ABCD的边长为1,则BO=DO= ∴△BOD的面积=BO×DO×sinθ=sinθ. ∴三棱锥体积=S△BOD×AC=sinθ≤, ∴θ=90°时,三棱锥体积最大,此时△BOD是等腰Rt△, ∴φ=45°,即当A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时候,直线BD与面ABC所成角为45°. 故答案为. |
举一反三
已知正四棱锥的底面面积为4cm2,体积为4cm3,设它的侧面上的斜高与底面所成角的大小为θ,则sinθ的值是______. |
边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,沿BD折成直二面角,过点A作PA⊥平面ABD,且AP=2. (Ⅰ)求证:PA∥平面DBC; (Ⅱ)求直线PC与平面DBC所成角的大小. |
如图,已知面ABC⊥面BCD,AB⊥BC,BC⊥CD,且AB=BC=CD,设AD与面ABC所成角为α,AB与面ACD所成角为β,则α与β的大小关系为( ) |
(理)已知圆柱的体积是π,点O是圆柱的下底面圆心,底面半径为1,点A是圆柱的上底面圆周上一点,则直线OA与该圆柱的底面所成的角的大小是______(结果用反三角函数值表示). |
已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点. (1)求证:DE⊥平面PAE; (2)求直线DP与平面PAE所成的角. |
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