如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△AB

题型：江苏高考真题难度：来源：

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G，
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离。

答案

解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，
设F为AB的中点，连结EF、FC，
∵D，E分别是CC₁与A₁B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，
∴GE=DF，
在直角三角形EFD中，，
∵EF=1，∴，
于是，
∵，
∴，
∴，
∴A₁B与平面ABD所成角是。
（Ⅱ）连结A₁D，有，
，
又EF∩AB=F，
∴，
设A₁到平面AED的距离为h，则，
又
，
∴，
即A₁到平面AED的距离。