如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.E是CC1的中点,(1)求锐二面角D-B1E-B的余弦值.(2)试判断AC与面DB1E的

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.E是CC1的中点,(1)求锐二面角D-B1E-B的余弦值.(2)试判断AC与面DB1E的

题型:不详难度:来源:
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.E是CC1的中点,
(1)求锐二面角D-B1E-B的余弦值.
(2)试判断AC与面DB1E的位置关系,并说明理由.
(3)设M是棱AB上一点,若M到面DB1E的距离为


21
7
,试确定点M的位置.
答案
建如图的立空间坐标系可得:D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),C1(0,2,1),B1(1,2,1),由中点坐标公式可得E(0,2,
1
2
),
(1)设面DB1E的法向量是


n1
=(x,y,z)
,又


DE
=(0,2,
1
2
),


DB1
=(1,2,1),由







n1


DE
=0


n1


DB1
=0





2y+
1
2
z=0
x+2y+z=0
,令y=1,得x=2,z=-4
故有


n1
=(2,1,-4)
,同理可求得面BB1E的法向量为


n2
=(0,1,0)
,故两平面所成的税二面角的余弦cosθ=|


n1


n2
|


n1
||


n2
|
|=
1


21

(2)由题意,AC的方向向量的坐标是


AC
=(-1,2,0),又面DB1E的法向量


n1
=(2,1,-4)
,由于


AC


n1
=-2+2=0,故


AC


n1
,又AC不在面DB1E内,故AC与面DB1E的位置关系是平行.
(3)M是棱AB上一点,
设M(1,x,0),则


MD
=(-1,-X,0),
由(1)面DB1E的法向量


n1
=(2,1,-4)
,M到面DB1E的距离即向量


MD
在DB1E的法向量


n1
上的投影长度,
故有d=|


n1


MD
|


n1
|
|=|
-2-X


21
=|


21
7
|即得|2+x|=3解得x=1,或x=-1(由图知,此结论舍),
故M是AB的中点时,符合题意.
举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥面ABCD,点M、N分别为BC、PA的中点,且PA=AB=2.
(1)证明:BC⊥AMN;
(2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN面ACE?若存在,求出PE的长,若不存在,说明理由.
(3)求二面角A-PD-C的正切值.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为1,底面ABC为直角三角形,AB=AC=1,∠BAC=90°.则二面角B1-AC-B的大小为______;点A到平面BCC1B1的距离等于______.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2


2
,∠PAB=60°.
(1)证明:AD⊥平面PAB;
(2)求异面直线PC与AD所成的角的余弦值;
(3)求二面角P-BD-A的大小余弦值.
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如图,已知ACDE是直角梯形,且EDAC,平面ACDE⊥平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,AB=AC=AE=2,ED=
1
2
AB
,P是BC的中点.
(Ⅰ)求证:DP平面EAB;
(Ⅱ)求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值.
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M是A1B的中点.
(Ⅰ)在线段B1C1上是否存在一点N,使得MN⊥平面A1BC?若存在,找出点N的位置幷证明;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求平面A1AB和平面A1BC所成角的大小.
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