证明:(1)∵平面AEFD⊥平面EBCF,∵EF∥AD,∠AEF=, ∴AE⊥EF,∴AE⊥平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE, 又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz. ∵EA=2,∴EB=2, 又∵G为BC的中点,BC=4,∴BG=2. 则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0), ∴=(-2,2,2),=(2,2,0),•=(-2,2,2)•(2,2,0)=0, ∴BD⊥EG. (2)∵AD∥面BFC, 所以f(x)=VD-BCF=VA-BFC=×S△BCF×AE=××4(4-x)x=-(x-2)2+≤, 即x=2时f(x)有最大值为.(8分) (3)设平面DBF的法向量为=(x,y,z), ∵AE=2,B(2,0,0),D(0,2,2), F(0,3,0),∴=(-2,3,0),=(-2,2,2), 则, 即 | (x,y,z)•(-2,2,2)=0 | (x,y,z)•(-2,3,0)=0 |
| | , 取x=3,y=2,z=1, ∴=(3,2,1) ∵AE⊥面BCF, ∴面BCF一个法向量为=(0,0,1), 则cos<,>==,(14分) 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-.
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