如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小。

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如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小。

答案

解：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD，
∵AP=BP，
∴PD⊥AB
∵AC=BC，
∴CD⊥AB
∴AB⊥平面PCD，
∵PC在平面PCD内，
∴PC⊥AB；
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
取AP中点E．连结BE，CE，
AB=BP，
∴BE⊥AP，
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=，
∴
∴二面角B-AP-C的大小为。