如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；

题型：高考真题难度：来源：

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，
(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；
(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小．

答案

(Ⅰ)证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD，
连结AE，则四边形ABME为直角梯形，
作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，
设ME=x，则SE=x，，
MF=AE=，FB=2-x，
由MF=FB·tan 60°，得，
解得x=1，即ME=1，
从而，所以M为侧棱SC的中点。
(Ⅱ)解：MB==2，
又∠ABM=60°，AB=2，所以△ABM为等边三角形．
又由(Ⅰ)知M为SC中点，，
故，
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，
则BG⊥AM，GH⊥AM，
由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角，
连结BH，在△BGH中，
，BH=，
所以，，
所以，二面角S-AM-B的大小为arccos。