(1)由,得P(2,1), 双曲线-y2=1的渐近线方程是x-2y=0和x+2y=0, 点P(2,1)到两条渐近线x-2y=0和x+2y=0的距离分别是 d1=和d2=, ∴点P到双曲线两条渐近线的距离之积 d1d2==. (2)设直线PA斜率为k,则PA的方程为:y-1=k(x-2), 即kx-y+1-2k=0, 由,消去y,并整理,得(1-2k2)x2+(8k2-4k)x+8k-8k2-4=0, ∵直线PA与双曲线-y2=1有两个交点, ∴△=(8k2-4k)2-4(1-2k2)(8k-8k2-4)>0, 即k2-2k+1>0, ∴k≠1. 故k的取值范围是(-∞,1)∪(1,+∞). (3)∵P(2,1),设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵PA和PB是两条倾斜角互补且不重合的直线, 设PA斜率是m,则PB斜率是-m 则PA:y=m(x-2)+1,PB:y=-m(x-2)+1, 分别与双曲线方程联立,得 -(mx1-2m+1)2=1, (1-2m2)x12+(8m2-4m)x1+8m-8m2-4=0, ∵2是方程的一个根, ∴x1=-2, 同理,x2=-2, ∴x1-x2=, ∵y1=m(-4)+1, y2=-m(-4)+1, ∴y1-y2=, ∴kAB===-1. 即直线AB的斜率为定值-1. |