设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G,若A(-1,0),B(1,0)且MG∥AB.(Ⅰ)求三角形ABC顶点C的轨迹方程;(Ⅱ)设顶点C的轨迹为D,已知直

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G,若A(-1,0),B(1,0)且MG∥AB.(Ⅰ)求三角形ABC顶点C的轨迹方程;(Ⅱ)设顶点C的轨迹为D,已知直

题型:不详难度:来源:
设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G,若A(-1,0),B(1,0)且MGAB.
(Ⅰ)求三角形ABC顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设顶点C的轨迹为D,已知直线L过点(0,1)并且与曲线D交于P、N两点,若O为坐标原点,满足OP⊥ON,求直线L的方程.
答案
(I)设C(x,y)(xy≠0),∵MGAB,可设G(a,b),则M(0,b).
∴a=
-1+1+x
3
,b=
0+o+y
3
,即  x=3a,y=3b   (1).  
∵M是不等边三解形ABC的外心,∴|MA|=|MC|,即


1+b2
=


x2+(b-y)2
  (2).
由(1)(2)得  x2+
y2
3
= 1
.所以,三角形顶点C的轨迹方程为  x2+
y2
3
= 1
,(xy≠0).
(II)设直线l的方程为 y=kx+1,P( x1,y1),N (x2,y2),





y = kx + 1
x2+
y2
3
= 1
  消y得 (3+k2)x2+2kx-2=0.∵直线l与曲线D交于P、N两点,
∴△=b2-4ac=4k2+8(3+k2)>0,x1+x2=-
2k
3+k2
,x1•x2=-
2
3+k2

∵OP⊥ON,∴x1•x2+y1y2=0,∴x1•x2+(kx1+1)(kx2+1)=0.
∴1+k2(-
2
3+k2
)+k (-
2k
3+k2
)+1=0,∴k=±


3
3

∴直线l的方程为 y=±


3
3
 x+1.
举一反三
过点P(0,1)且以


a
=(-1,2)
为方向向量的直线方程为(  )
A.y=-2x+1B.y=2x+1C.y=-
1
2
x+1
D.y=
1
2
x+1
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
已知圆O:x2+y2=1(点O为坐标原点),一条直线l:y=kx+b(b>0)与圆O相切,并与椭圆
x2
2
+y2=1
交于不同的两点A、B.
(1)设b=f(x),求f(k)的表达式;
(2)若


OA


OB
=
2
3
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
求与点P(4,3)的距离为5,且在两坐标轴的截距相等的直线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是(  )
A.2x-y-1=0B.x-2y+1=0C.x+2y+1=0D.x+
1
2
y-1=0
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
1
2
,且椭圆经过点N(2,-3).
(1)求椭圆C的方程.
(2)求椭圆以M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程.
题型:济南二模难度:| 查看答案
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