在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)若直线L经过的内心(设为D),且与P
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在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)若直线L经过的内心(设为D),且与P
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在平面直角坐标系xoy中,给定三点
,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)若直线L经过
的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围。
答案
直线L的斜率k的取值范围是有限集
解析
Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为
。点
到AB、AC、BC的距离依次为
。依设,
,即
,化简得点P的轨迹方程为
圆S:
......5分
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S:
① 与双曲线T:
②
因为B(-1,0)和C(1,0)是适合题设条件的点,所以点B和点C在点P的轨迹上,且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。
的内心D也是适合题设条件的点,由
,解得
,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为
③
(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线
平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分
(ii)当
时,L与圆S有两个不同的交点。这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率
,直线L的方程为
。代入方程②得
,解得
。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当
时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 ......15分
情况2:直线L不经过点B和C(即
),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
有且只有一组实数解,消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是
④
或
⑤ .解方程④得
,解方程⑤得
。
综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集
。
举一反三
知平面
α
与平面
β
交于直线
l
,
P
是空间一点,
PA
⊥
α
,垂足为
A
,
PB
⊥
β
,垂足为
B
,且
PA
=1,
PB
=2,若点
A
在
β
内的射影与点
B
在
α
内的射影重合,则点
P
到
l
的距离为_________.
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设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式
( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值,两者不等 D.是一个与面QPS无关的常数
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如图,四面体DABC的体积为
,且满足
则
.
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点
P
是等腰三角形
ABC
所在平面外一点,
PA
⊥平面
ABC
,
PA
=8,在△
ABC
中,底边
BC
=6,
AB
=5,则
P
到
BC
的距离为( )
A.
B.
C.
D.
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等边三角形
的边长为
,沿平行于
的线段
折起,使平面
平面
,设点
到直线
的距离为
,
的长为
.
(1)
为何值时,
取得最小值,最小值是多少;
(2)若
,求
的最小值.
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