若不全为零的实数a,b,c成等差数列,点P(-1,-2)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是______.
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若不全为零的实数a,b,c成等差数列,点P(-1,-2)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是______. |
答案
∵不全为零的实数a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.把b=代入直线l:ax+by+c=0可得ax+y+c=0, 化为a(2x+y)+c(y+2)=0. 由于a,c不全为0,联立解得, 可知:动直线l过定点Q(1,-2). 设点M(x,y),∵PM⊥QM. ∴•=(x+1,y+2)•(x-1,y+2)=x2-1+(y+2)2=0, 化为x2+(y+2)2=1. 因此点M在以(0,-2)为圆心,1为半径的圆上, 故当取点M(0,-1)时,|MN|取得最小值3-(-1)=4. 故答案为:4. |
举一反三
已知直线2x+y-8=0和直线x-2y+1=0的交点为P,分别求满足下列条件的直线方程. (Ⅰ)直线m过点P且到点A(-2,-1)和点B(2,1)距离相等; (Ⅱ)直线n过点P且在两坐标轴上的截距之和为12. |
已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5,则a的值为( ) |
对于平面直角坐标系内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2)定义它们之间的一种“距离”:在极坐标系中,已知点A(1,)和B(2,),则A、B两点间的距离是______. |
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