直线y=-3与曲线y=5cos(x-π4)，(-π2＜x＜0)的交点为P，过点P作x轴的垂线，这条垂线与曲线y=5cos2x的交点为Q，则线段PQ的长度为___

题型：不详难度：来源：

直线y=-3与曲线y=5cos(x-

π

4

)，(-

π

2

＜x＜0)的交点为P，过点P作x轴的垂线，这条垂线与曲线y=5cos2x的交点为Q，则线段PQ的长度为______．

答案

由题意可设点P的坐标为（x₀，-3），则5cos(x0-

π

4

)=-3，
解得cos(x0-

π

4

)=-

3

5

，又∵-

π

2

＜x0＜0，
∴-

3π

4

＜x0＜-

π

4

，
∴sin(x0-

π

4

)=-

4

5

，
因为过点P作x轴的垂线与曲线y=5cos2x的交点为Q，设为Q（x₀，y₀），
且满足y₀=5cos2x₀，由诱导公式可得y₀=5cos2x₀=5sin(

π

2

-2x0)=10sin(

π

4

-x0)cos(

π

4

-x0)=10×

4

5

×(-

3

5

)=-

24

5

故线段PQ的长度为|-3-（-

24

5

）|=

9

5

故答案为：

9

5